第五讲 数字信号处理-相关函数

　　第五讲 相关函数 ------信号的时域分析与处理 信号的时域分析与处理-----信号的时域分析与处理 1、 研究背景 、 （1） 想通过声音或振动分析实现：①检测发动机机械故障； ） 想通过声音或振动分析实现： 检测发动机机械故障； 再现发动机缸内燃烧压力曲线； ②再现发动机缸内燃烧压力曲线； 测量气体浓度。 （2）检测淹没在强噪声中的极微弱信号：TDLAS 测量气体浓度。 ）检测淹没在强噪声中的极微弱信号： 2、 信号的时域分析 、 定义：在时域内对信号进行滤波、放大、统计特征计算、相关性分析等处理 统称为信号的时域分析。 突出：信号滤波器分为经典滤波器和现代滤波器： （1） 经典滤波器：强调噪声和有用信号处于不同频带。 （2） 现代滤波器：噪声频带和有用信号频带重叠。 维纳滤波器，卡尔曼滤波器：非平稳、多输入、多输出，递推型的线、 时域统计分析与随机过程 、 3.1 概率密度函数的定义（统计模式识别的核心难点） 3.2 宽平稳随机信号的定义 4、 相关分析及应用 、 相关分析是数字信号处理中最主要的“时域处理”方法 相关函数： 在信号处理中研究信号的相似性， 或一个信号经过一段延迟后自身的相似性， 以实现信号的检测、识别与提取。 研究信号间的相似性或信号自身的相似性，是信号处理的核心问题。 注意：两个信号相乘的结果表示它们之间的相似性。 有很多基本应用：①噪声中有用信号的检测； ②信号中隐含周期性的检测； ③信号相关性的检验； ④信号延时长度的测量； ⑤作为随机信号的重要统计量； ⑥功率谱估计。 4.1 确定性信号的相关函数 4.1.1 x(n), y (n) 是能量有限的确定性信号， x(n), y (n) 的相关系数定义为： ρ xy = ∑ x ( n) y ( n) n =0 ∞ [∑ x 2 (n)∑ y 2 (n)]2 n=0 n=0 ∞ ∞ ∞ 1 ρ xy 的大小由 rxy 确定， rxy = ∑ x(n) y (n) n =0 ∞ rxy (m) = 相关函数的定义： n =?∞ ∞ ∑ x ( n) y ( n + m) ∑ x ( n ? m) y ( n ) ∞ rxy (m) = 自相关函数定义： rxx ( m) = 4.1.2 对于功率信号 n =?∞ n =?∞ ∑ x ( n) x ( n + m ) N 1 ∑ x ( n) y ( n + m ) N →∞ 2 N + 1 n =? N 相关函数定义为： rxx ( m) = lim 若 x (n) 是周期信号，且周期为 N，其自相关函数为： 1 N ?1 ∑ x ( n) x ( n + m ) N →∞ N n=0 N ?1 1 rx (m) = lim ∑ x(n) x(n + N + m) N →∞ N n=0 rx (m) = rx (m + N ) rx (m) = lim 无限多个周期的求和平均可用一个周期的求和平均代替。 rx (m) = 1 N ∑ x ( n) x ( n + m ) n=0 N ?1 4.1.3 相关函数的性质 4.1.4 自相关函数的性质 特别是： rx ( m) 在 m = 0 时取得最大值，即 rx (0) ≥ rx ( m) 4.1.5 互相关函数 特别是： rxy ( m) 满足 rxy ( m) ≤ rx (0)ry (0) = Ex E y 4.2 平稳随机信号的自相关函数 定义 1： rx ( m) = E{ X (n) X ( n + m)} （课本 P467） ? 定义 2：信号 x (t ) 的自相关函数 Rx (τ ) 是描述信号一个时刻的取值与另一个时刻的取值之间 的依赖关系（工程定义） 。 Rx (τ ) = lim 1 T →∞ T ∫ T 0 x(t ) x(t + τ )dt 若离散化： Rx ( n?τ ) = 1 N ?n ∑ x( r ) x( r + n) N ? n r =1 自相关函数的应用： （1）根据自相关图的形状来判断原信号的性质（课本 P38，图 1.8.1） ； （2）用于检测混于随机噪声中的确定性信号； 课本例 10.4.3 有先验知识与无先验知识两种情况。 （3）自相关函数作傅立叶变换可求得自功率谱密度函数 Gx ( f ) = 2∫ Rx (τ )e ? j 2π f τ dτ , f ≥ 0 ?∞ ∞ 应用举例： （1）识别车床变速箱运行状态 ①正常状态变速箱噪声信号的自相关函数； ②异常状态变速箱噪声信号的自相关函数； 将各轴的转速与自相关函数上周期性波动的频率进行比较。 4.3 互相关分析 互相关函数 Rxy (τ ) 表示两组数据之间依赖关系的相关统计量： Rxy (τ ) = lim 1 T →∞ T ∫ T 0 x(t ) y (t + τ )dt 互相关函数的应用： （1） 系统的时间滞后直接由输入输出互相关图中峰值的时间位移来确定； （2） 利用互相延时和能量信息可对传输通道进行分析识别； （3） 利用互相关函数可得互谱密度函数 Gxy ( f ) = 2 ∫ ∞ ?∞ Rxy (τ )e? j 2π f τ dτ （4） 测定未知参数线性系统得频率响应（课本例 10.4.4） ruy (m) = h(m) （5） 相干平均（课本例 10.4.5） 课本 P480 ：相关函数与功率谱是描述随机信号的两个主要特征量。 对这感兴趣的原因： 对这感兴趣的原因：这涉及工程信号处理与设备故障诊断 ① 相关测速和定位； 问题：测量船舶的航速，在船舶前进方向，相距为 l 的两点安转两组超声发射机和接收 机，得到两组回波信号 x1 (t ) 和 x2 (t ) ，计算两者之间的互相关函数 Rx1x2 (τ ) ，为什么船 舶的航行速度为 v = l / τ max ？这里 τ max 是互相关函数上峰值对应得时间。 详细论述见《相关流量测量技术》一书中，P57-P59 x(t ) = ay (t + τ ) ，另外假设系统是线性的。 ② 振动噪声源的测定； 来自多个源的非频变的典型互相关图 2 σ 12y = ρ12y (τ 1 )σ y ③ 同频检测 5、 、 微弱信号检测专题—基于 微弱信号检测专题 基于 TDLAS 测量气体浓度邻家小妹让我欲罢不能